النسبة الذهبية في الموسيقى

العدد فاي (Phi) أو ما يسمى بـ “النسبة الذهبية” جعل الأشياء التي يدخل في تكوينها أكثر جمالاً، كبعض المعالم الأثرية واللوحات الفنية وحتى في أشكال الأحياء، واستخدمه الكثير من الرسامين في لوحاتهم الفنية.

ومن المعلوم أنّ الأعداد العشرة الأولى من متتالية فيبوناتشي هي:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

حيث ينتج كل عددٍ منها بجمع العددين اللذين يسبقانه. وحاصل قسمة كل عدد منها على العدد الذي يسبقه يقترب من النسبة الذهبية.
يُظهر الشكل استخدام ليوناردو دافنشي في لوحته الموناليزا النسبة الذهبية.

ولكن السؤال: هل للرياضيات علاقة بالموسيقى؟ وهل يمكننا إيجاد أعداد فيبوناتشي أيضاً في الموسيقى؟

الموسيقى ليست فقط مجموعة من النوتات التي تؤلف التناغم الموسيقي، بل هي عبارة عن إيقاع وتناسق للأصوات وتغير للعلامات الموسيقية مع الزمن. وبشكلٍ مثير للاهتمام، عندما نقوم بتحليل مقطوعة موسيقية معيّنة، من المحتمل أن نجد تابعاً رياضياً يربط بين مقطعين موسيقيين. (للمزيد)

وبإلقاء نظرة على السلم الموسيقي الكروماتيكي(Chromatic Scale)[1] الموضح بالشكل حيث اللون الأبيض يشير إلى المفاتيح البيضاء في آلة البيانو واللون الأسود يشير إلى المفاتيح السوداء، بترقيم العلامات الموسيقية في سلم دو الكبير (C major):
دو تقابل 1
ري تقابل 3
مي تقابل 5
فا تقابل 6
صول تقابل 8
ودو جواب تقابل13

وبملاحظة أنّ التآلف (Chord) لسلم دو الكبير يتكوّن من العلامات دو، مي، صول، دو جواب (C, E, G, C)، التي تُقابل الأعداد 1 و5 و 8 و 13 وهي من أعداد فيبوناتشي!
ظهرت النسبة الذهبية في العديد من الأعمال الموسيقية بشكل متعمّد أو غير متعمّد. التطبيق المتعمّد للنسبة الذهبية يظهر في أعمال Schillenger System of Musical Composition ويمكن أيضاً ملاحظة العدد الذهبي في: 1st Movement of Béla Bartókʼs piece Music for Strings, Percussion and Caleste، وفي العديد من أعمال شوبان Chopin(Nocturnes and Etudes) أيضاً.

هنالك الكثير من الجدل حول استخدام موزارت Mozart النسبة الذهبية في موسيقاه، وما إذا كان قد ألّف المقاييس باستخدام المعادلات الرياضية أو ألّف موسيقاه من وحي الحياة اليومية!

موزارت كان طفلاً معجزة ومن البراهين ما يثبت أنّه كان مهتماً بالرياضيات، أظهرت نتائج الدراسات لموسيقى موزارت أنه قام بذلك فعلاً ولكن في عدد من مؤلفاته مثل Fantasia and Fogue in C major، ربما لم يقم بذلك عمداً ولكن هذا بشكلٍ أو بآخر يوضح عبقريته في اللعب فكرياً بالأرقام.

وفي دراسة مستقصية وضعها الرياضي جون بوتز عن بنية سوناتات[2] البيانو لموزارت وعلاقتها بالعدد الذهبي، بحث بوتز في 29 حركة في سوناتات موزارت ووجد أنّ الحركات التي فيها قسمان متمايزان كانت مقسّمة بنفس الطريقة، أي حسب نسب المقطع الذهبي. ووجد أيضاً أنّ النسبة بين عدد المقاييس في قسم التفاعل + عدد المقاييس في قسم الإعادة وبين العدد الكلي للموزورات في القطعة يحقق العدد الذهبي (قسم التفاعل + قسم الإعادة)/ القطعة بأكملها. كما وجد أنّ النسبة بين عدد المقاييس في قسم العرض إلى عدد المقاييس في قسم الإعادة + قسم التفاعل يقارب من العدد الذهبي، لكن لا يحدث ذلك بشكل ثابت. لقد كانت هناك متحولات عديدة؛ ولذلك استنتج أننا لا نستطيع أن نجزم أنّ موزارت استعمل العدد الذهبي في سوناتاته.

ملاحضات

[1] السلم الكروماتيكي (Chromatic scale) هو سلم موسيقي ذو 12 نغمة، بين كل نغمتين متتابعتين فيها نصف بعد. تكون أنصاف الأبعاد على هذا المقياس موزعةً بشكل متساوٍ على البيانو الحديث أو الآلات المماثلة.

[2] قالب السوناتا: قالب للـتأليف الموسيقي له شكل ثلاثي.

يتكون من خطة أ ب أ، مع قسم ب فيه مقابلة في الحالة النفسية والمقام والمعالجة اللحنية. قسم أ الأول في قالب السوناتا يعرف بالعرض و’ب’ التفاعل والعودة إلى إعادة العرض أ.
*تحليل موسيقى بيتهوفن، ديبوسي، والكثير من الموسيقيين في فترات زمنية مختلفة يُظهر وجود أعداد فيبوناتشي.

*حضور العدد الذهبي كان جلياً في تصميم الآلات الموسيقية متضمنة الآلات الوترية كـ الكمان، كذلك الأمر في تصميم البيانو.

المصادر: (هنا)